逆用极限等价

【2013·数二】

当 $x→0$时，$1-cosxcos2xcos3x$与$ax^n$为等价无穷小，求n与a的值

首先列出表达式

$$lim_{x \to 0} \frac{1-cosxcos2xcos3x}{ax^n} = 1$$

虽然本题为 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可以考虑使用洛必达法则，但是求导非常麻烦

据说连续洛7次可以算出结果，未验证

或者使用泰勒公式展开分子，但是展开后为 多项式×多项式×多项式 很容易出错

这里注意到分子分母均为无穷小，可以想到等价替换，使用下面的结论

Tip

对任意的 $f(x)$ 若满足$lim_{x \to x_0} f(x) = 1$，则有$lnf(x)～f(x)-1$

因此，有

$$\begin{equation} \begin{aligned} &lim_{x \to 0} \frac{1-cosxcos2xcos3x}{ax^n}&\\ &=lim_{x \to 0} \frac{-lncosxcos2xcos3x}{ax^n}& \\ &=lim_{x \to 0}\frac{-(lncosx+lncos2x+lncos3x)}{ax^n}&\\ &=lim_{x \to 0}\frac{-lncosx}{ax^n}+lim_{x \to 0}\frac{-lncos2x}{ax^n}+lim_{x \to 0}\frac{-lncos3x}{ax^n} &\\ &=lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{ax^n}+lim_{x \to 0}\frac{1-cos2x}{ax^n}+lim_{x \to 0}\frac{1-cos3x}{ax^n} \\ &=lim_{x \to 0}\frac{7x^2}{ax^n} = 1& \end{aligned} \end{equation}$$

所以$a = 7$，$b = 2$