二元函数连续性、可导、可微判断

二元函数

$$f(x,y)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, &&(x,y)≠(0,0)& \\ &0,&&(x,y)=(0,0)& \end{aligned} \right.$$

在点$(0,0)$处的连续性，可导性，可微性

1. 连续性
   本题利用极坐标换元
   令$x=rcosθ,y=rsinθ$，则有$x^2+y^2=r^2$
   当$(x,y) \to (0,0)$时，$r\to0$

$$\begin{aligned} &lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)&\\ =&lim_{r \to 0}\frac{r^2sin\theta cos\theta}{\sqrt{r^2}}&\\ =&f(0,0)=0& \end{aligned}$$

则函数连续

2. 可导性

$$\begin{aligned} f'_{x}(0,0)=&lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}&\\ =&lim_{x \to 0}\frac{0}{x}=0& \end{aligned}$$

同理$f'_y(0,0)=0$ ，偏导数存在
3. 可微性

$$\begin{aligned} &lim_{r\to0}\frac{r^2sin\theta cos\theta}{r^2}&\\ =&lim_{r \to 0}sin\theta cos\theta&\\ \end{aligned}$$

故极限不存在，该函数不可微