对定积分式求极限

易错题

已知 $f(x)$ 连续，证明

$$lim_{\Delta x \to 0}\int_{a}^{b}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}dx = f(b) - f(a)$$

正确做法

分母 $\Delta x$ 在对 $dx$ 积分时，可以将其视作 常数 提到积分号外边，变成

$$lim_{\Delta x \to 0}\frac{\int_{a}^{b}[f(x+\Delta x)-f(x)]dx}{\Delta x}$$

分子分别对 $f(x+\Delta x)-f(x)$ 和 $f(x)$ 积分，由于此时 $\Delta x$ 视为常数，则有

$$lim_{\Delta x \to 0}\frac{\int_{a}^{b}f(x+\Delta x)d(x+\Delta x)-\int_{a}^{b}f(x)dx}{\Delta x}$$

对前一个式子，令 $t=x+\Delta x$ ，有$t\in(a+\Delta x,b+\Delta x)$，构造成 变上下限积分函数

$$lim_{\Delta x \to 0}\frac{\int_{a+\Delta x}^{b+\Delta x}f(t)dt-\int_{a}^{b}f(x)dx}{\Delta x}$$

由于$\Delta x \to 0$，且函数连续，则有 $\int_{a+\Delta x}^{b+\Delta x}f(t)dt-\int_{a}^{b}f(x)dx \to 0$，使用洛必达法则可得

$$lim_{\Delta x \to 0}[f(b+\Delta x)-f(a+\Delta x)]=f(b)-f(a)$$

这里 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 的结果是一个常数，故求导后为0

得证

常见错误

将定积分与求极限交换次序，内部由导数定义式写成 $\int_{a}^{b}f'(x)dx$ 直接得到 $f(b)-f(a)$

错误原因

1. 多层极限不能随意交换次序 (定积分的定义仍然是极限)
2. 函数连续不一定可导
3. 存在导函数不一定可以求定积分，但是可以求不定积分

对于 3 ，可以举出反例

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} sec^2xdx$$

本题中 $sec^2x$ 原函数为 $tanx$ ，但是 $tanx$ 在 $\frac{\pi}{2}$ 处无定义，考虑反常积分

但是 $lim_{x \to \frac{\pi}{2}}tanx$ 不论是单侧极限或是极限均不存在，故不能求定积分

或使用定积分存在定理，$sec^2x$ 在 $\frac{\pi}{2}$ 处趋于无穷，此时存在无穷间断点，即 $f(x)$ 在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 无界，故定积分不存在

但是可以有不定积分

$$\int sec^2xdx = tanx + C$$