考研数学学习笔记--函数极限和连续

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考研数学学习笔记--函数极限和连续

函数

几个重要函数

双曲正弦函数 y=ex−e−x2y = \frac{e^x-e^{-x}}{2}

反双曲正弦函数 y=ln⁡(x+x2+1)y = \ln(x+\sqrt{x^2+1})

这两个函数互为反函数，且均为奇函数

双曲余弦函数 y=ex+e−x2y = \frac{e^x+e^{-x}}{2}

这个函数为偶函数

奇偶性

前提: 定义域关于原点对称

f(x)+f(−x)f(x)+f(-x)必为偶函数

f(x)−f(−x)f(x)-f(-x)必为奇函数

复合函数 f[g(x)]f[g(x)] 的奇偶性

判断方法: 内偶则偶，内奇同外

若奇函数或偶函数 f(x)f(x) n阶可导，求导一次，奇偶性互换

f(x)f(x) f′(x)f'(x) f′′(x)f''(x) ……
奇 偶 奇 ……

若 f(x)f(x) 是连续的奇函数，则 ∫axf(t)dt+C\int_{a}^{x}f(t)dt+C 是偶函数，且 f(x)f(x) 的全体原函数均为偶函数

若 f(x)f(x) 可积不连续，则 ∫axf(t)dt\int_{a}^{x}f(t)dt 是偶函数，且没有原函数

连续函数才有原函数，否则只能说可积

若 f(x)f(x) 是连续的偶函数，则 f(x)f(x) 的全体原函数中，只有 ∫0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)dt 是奇函数，其余均为非奇非偶函数

周期性

重要结论

  1. 若f(x)f(x)以T为周期，则f(ax+b)f(ax+b)以T∣a∣\frac{T}{|a|}为周期
  2. 若g(x)g(x)是周期函数，则复合函数f[g(x)]f[g(x)]也是周期函数
  3. 若f(x)f(x)是以T为周期的可导函数，则f′(x)f'(x)也以T为周期
  4. 若f(x)f(x)是以T为周期的连续函数，则只有在∫0Tf(x)dx=0\int_0^Tf(x)dx=0时，∫0xf(t)dt\int_0^xf(t)dt也以T为周期

初等函数

包括常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数

三角函数

sinxsinx cosxcosx tanxtanx cotxcotx
定义域 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) x≠kπ+π2x≠k\pi+\frac{\pi}{2} x≠kπx≠k\pi
值域 $[-1,1] [−1,1][-1,1] (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)
周期性 T=2kπT=2k\pi T=2kπT=2k\pi T=kπT=k\pi T=kπT=k\pi
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数

sin2x+cos2x=1sin^2x+cos^2x=1

secxsecx cscxcscx
定义域 x≠kπ+π2x≠k\pi+\frac{\pi}{2} x≠kπx≠k\pi
值域 (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup[1,+\infty) (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)
周期性 T=2kπT=2k\pi T=2kπT=2k\pi
奇偶性 偶函数 奇函数
重要结论

1+tan2x=sec2x1+tan^2x=sec^2x
1+cot2x=csc2x1+cot^2x=csc^2x

arcsinxarcsinx arccosxarccosx
主值区间 [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
主值区间对应的定义域 [−1,1][-1,1] [−1,1][-1,1]
单调性 递增 递减
arctanxarctanx arccotxarccotx
定义域 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)
值域 (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) (0,π)(0,\pi)
单调性 递增 递减
奇偶性 奇函数 非奇非偶
重要结论

arcsinx+arccosx=π2(−1≤x≤1)arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2}(-1≤x≤1)
arctacx+arccotx=π2(−∞≤x≤+∞)arctacx+arccotx=\frac{\pi}{2}(-\infty≤x≤+\infty)

分段函数

  1. 绝对值函数
  2. 符号函数

y=sgnx={1,x>00,x=0−1,x<0y=sgnx=\left\{ \begin{aligned} &1,&&x>0& \\ &0,&&x=0& \\ &-1,&&x<0& \\ \end{aligned} \right.

  1. 取整函数 y=[x]y=[x]
结论

  1. [x+n]=[x]+n[x+n]=[x]+n
  2. x−1<[x]≤xx-1<[x]≤x
  3. limx→0+[x]=0lim_{x \to 0^+}[x] = 0
  4. limx→0−[x]=−1lim_{x \to 0^-}[x] = -1

极限

定义

limx→x0f(x)=Alim_{x \to x_0}f(x) = A ⇔\Leftrightarrow ∀ε>0,∃δ>0\forall \varepsilon >0, \exists \delta>0，当 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta 时，有 ∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon

性质

  1. 唯一性

  2. 局部有界性

如果limf(x)=Alimf(x)=A，则有∣f(x)∣≤M|f(x)|\leq M

  1. 局部保号性

limf>0⟹f>0limf>0\Longrightarrow f>0
limf≥0⟹f≥0limf\geq0\Longrightarrow f\geq0
limf<0⟹f<0limf<0\Longrightarrow f<0
limf≤0⟹f≤0limf\leq0\Longrightarrow f\leq0

无穷小

  1. 有限个无穷小的 和/积 是无穷小
  2. 无穷小 × 有界函数 = 无穷小
常用的无穷小替换（x→0x \to 0时）

sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼ln⁡(1+x)∼ex−1∼ax−1ln⁡a∼(1+x)a−1a∼xsinx\sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim \ln(1+x) \sim e^x-1 \sim \frac{a^x-1}{\ln a} \sim \frac{(1+x)^a-1}{a} \sim x
1−cosx∼12x21-cosx\sim\frac{1}{2}x^2
ax−1∼xln⁡aa^x-1\sim x\ln a
(1+x)a−1∼ax(1+x)^a-1\sim ax

使用时常需要广义化，比如有 f(x)→1f(x) \to 1 时，lnf(x)∼f(x)−1lnf(x)\sim f(x)-1

洛必达法则

略

泰勒公式

sinx=x−x33!+o(x3)sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)

arcsinx=x+x33!+o(x3)arcsinx=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)

cosx=1−x22!+x44!+o(x4)cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)

tanx=x+x33+o(x3)tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)

arctanx=x−x33+o(x3)arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)

ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)

ex=1+x+x22!+x33!+o(x3)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+o(x2)(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)

函数的间断和连续

连续的定义：左极限存在 且 右极限存在 = 函数值

间断点

第一类间断点

可去间断点：limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)≠f(x0)lim_{x \to x_0+}f(x) = lim_{x \to x_0-}f(x)\neq f(x_0)
跳跃间断点：limx→x0+f(x)≠limx→x0−f(x)lim_{x \to x_0+}f(x)\neq lim_{x \to x_0-}f(x)

第二类间断点

无穷间断点：limx→x0f(x)=∞lim_{x \to x_0}f(x) = \infty或 limx→x0+f(x)=∞lim_{x \to x_0+}f(x) = \infty或limx→x0−f(x)=∞lim_{x \to x_0-}f(x) = \infty
振荡间断点